✨ مسئله پوشش مستطیل با مربع‌ها ✨

🎨 یک نقاش می‌خواهد یک طرح دیواری به شکل مستطیل با ابعاد 60 متر طول و 24 متر عرض را با رنگ‌های مربع شکلی پوشش دهد. اگر بخواهد از کمترین تعداد رنگ استفاده کند، اندازه هر رنگ و تعداد کل رنگ‌ها چقدر خواهد بود؟🤔

---

💡 روش اول: یافتن بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م) 💡

برای حل این مسئله، باید بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م) طول و عرض مستطیل را پیدا کنیم. ب م م نشان‌دهنده اندازه بزرگ‌ترین مربعی است که می‌توانیم با آن مستطیل را بدون هیچ فضای خالی پوشش دهیم. 📏

$$ب.م.م(60,24)=2^2\times 3=12$$

بنابراین، اندازه هر مربع رنگی 12 متر خواهد بود. 🎉

محاسبه تعداد کل رنگ‌ها

برای محاسبه تعداد کل رنگ‌ها، ابتدا مساحت مستطیل را پیدا می‌کنیم:

$$\mathrm{مساحت}=60\times 24=1440$$

سپس مساحت هر مربع رنگی را محاسبه می‌کنیم:

$$\mathrm{مساحت}\text{هر مربع}=12\times 12=144$$

در نهایت، تعداد کل رنگ‌ها را با تقسیم مساحت مستطیل بر مساحت هر مربع به دست می‌آوریم:

$$\mathrm{تعداد}\text{رنگ‌ها}=\frac{1440}{144}=10$$

بنابراین، نقاش به 10 رنگ مربع شکل نیاز دارد. 🥳

💡 روش دوم: تجزیه اعداد و یافتن مقسوم علیه مشترک بزرگتر 💡

در این روش، ابتدا طول و عرض مستطیل را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:

• 60 = 2² × 3 × 5
• 24 = 2³ × 3

سپس، مقسوم علیه مشترک بزرگتر (ب م م) را با انتخاب کمترین توان هر عامل اول مشترک به دست می‌آوریم:

$$ب.م.م(60,24)=2^2\times 3=12$$

همانطور که در روش اول دیدیم، اندازه هر مربع رنگی 12 متر است. 🤩

محاسبه تعداد کل رنگ‌ها (روش دوم)

تعداد رنگ‌های مورد نیاز در امتداد طول مستطیل:

$$\mathrm{تعداد}\text{رنگ‌ها در طول}=\frac{60}{12}=5$$

تعداد رنگ‌های مورد نیاز در امتداد عرض مستطیل:

$$\mathrm{تعداد}\text{رنگ‌ها در عرض}=\frac{24}{12}=2$$

تعداد کل رنگ‌ها:

$$\mathrm{تعداد}\text{کل رنگ‌ها}=5\times 2=10$$

باز هم به همان نتیجه می‌رسیم: نقاش به 10 رنگ مربع شکل نیاز دارد. 👍

💡 روش سوم: استفاده از الگوریتم اقلیدسی برای یافتن ب م م 💡

الگوریتم اقلیدسی یک روش کارآمد برای محاسبه ب م م دو عدد است. این الگوریتم بر اساس تقسیم متوالی و یافتن باقیمانده‌ها عمل می‌کند.

محاسبه ب م م (60, 24) با استفاده از الگوریتم اقلیدسی

1. 60 = 2 × 24 + 12
2. 24 = 2 × 12 + 0

باقیمانده نهایی (0) نشان‌دهنده ب م م است. بنابراین، ب م م (60, 24) = 12.

محاسبه تعداد کل رنگ‌ها (روش سوم)

همانند روش‌های قبلی، با داشتن اندازه مربع (12 متر)، می‌توانیم مساحت مستطیل و تعداد کل رنگ‌ها را محاسبه کنیم:

$$\mathrm{تعداد}\text{کل رنگ‌ها}=\frac{60}{12}\times \frac{24}{12}=5\times 2=10$$

در نتیجه، نقاش به 10 رنگ مربع شکل نیاز دارد. ✅

📝 اصطلاحات کلیدی

• بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م): بزرگترین عددی که دو یا چند عدد دیگر را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کند.
• عامل اول: عددی که فقط بر 1 و خودش قابل تقسیم است.
• الگوریتم اقلیدسی: یک روش کارآمد برای محاسبه ب م م دو عدد.

📚 توضیحات تکمیلی

این مسئله نمونه‌ای از کاربرد ب م م در مسائل هندسی است. با یافتن بزرگ‌ترین مربعی که می‌توانیم با آن مستطیل را پوشش دهیم، اطمینان حاصل می‌کنیم که کمترین تعداد رنگ مورد نیاز است و هیچ فضای خالی باقی نمی‌ماند.